9 Из декоративной проволоки нужно спаять плоское украшение в виде ракушки заданных размеров (см. рисунок), затратив наименьшее возможное количество проволоки. Проволоку можно гнуть под любым углом и спаивать в точках соединения. Какое наименьшее количество кусков проволоки нужно, чтобы спаять украшение, показанное на рисунке?

Решение:

Украшение в виде ракушки состоит из нескольких симметричных частей, соединенных между собой.

Рассмотрим одну из лепестковидных форм, которая состоит из двух дуг. Чтобы спаять одну такую форму, нам нужно начать с одной точки, провести две дуги, которые сойдутся в другой точке. Это можно сделать одним непрерывным куском проволоки, если начать в одной из вершин и вести проволоку по обеим дугам.

Вся ракушка состоит из 6 таких лепестковидных форм. Если мы будем спаивать каждую форму отдельно, нам потребуется 6 кусков проволоки, так как каждую форму можно сделать из одного куска.

Однако, эти формы соединены друг с другом в центре. Это означает, что мы можем начать с центральной точки и вести проволоку по всем сегментам.

Представим, что мы начинаем в центре. Мы можем провести одну линию проволоки, которая будет одной стороной первого лепестка, затем вернуться к центру и пойти по другой стороне этого лепестка. Таким образом, один лепесток будет сделан из двух кусков.

Если мы спаиваем украшение, то точки соединения должны быть прочными. Если мы хотим использовать наименьшее количество кусков проволоки, нам нужно минимизировать количество разрывов.

Давайте рассмотрим структуру ракушки: она симметрична и состоит из 6 сегментов. Каждый сегмент имеет форму, напоминающую капельку или лепесток. Каждая такая форма ограничена двумя дугами, сходящимися в одной точке (внешняя вершина лепестка) и в другой точке (где лепесток примыкает к центру).

Чтобы спаять один такой лепесток, нам нужен один кусок проволоки, если мы начнем в одной точке и пройдем по обеим дугам, закончив в другой точке. Если мы хотим соединить все лепестки, нам нужно минимизировать количество кусков.

Рассмотрим, как можно построить всю фигуру из наименьшего числа кусков. Мы можем начать в центре, провести проволоку по одной из дуг первого лепестка, затем перейти к следующему лепестку, и так далее. Но для того, чтобы сформировать каждую дугу, нам нужен отдельный кусок, если мы не можем начать и закончить в одной точке.

Если мы хотим сделать всю конструкцию, мы можем начать в одной точке, пройти по всем внешним контурам, а затем вернуться и сделать внутренние соединения.

Представим, что мы начинаем в одной из вершин (внешняя точка лепестка). Мы можем пройти по двум дугам этого лепестка, придя в центральную точку. Это один кусок проволоки. Затем, из центра, мы можем сделать следующий лепесток, также одним куском, который начнётся в центре, пройдёт по двум дугам и вернется в центр. Но это неэффективно.

Наиболее эффективный способ — минимизировать количество точек, где проволока должна быть разрезана.

Рассмотрим одну из симметричных частей. Она имеет две изогнутые стороны. Если мы начнем в точке, где эти стороны соединяются (внешняя точка), и пойдем по одной дуге, то мы придём к другой точке (центральной). Затем, чтобы сделать вторую дугу, нам потребуется новый кусок проволоки, который соединит центральную точку с внешней вершиной. Это два куска на один лепесток.

Но мы можем спаивать в точках соединения. Если мы начинаем в одной вершине лепестка, проводим проволоку по обеим сторонам и заканчиваем в центральной точке, это один кусок. Затем, из центра, мы можем начать следующий лепесток. Но проволока должна быть непрерывной.

Посмотрим на рисунок внимательно. Ракушка состоит из 6 сегментов. Каждый сегмент имеет две дуги. Эти дуги сходятся во внешней точке. Другие концы дуг сходятся в центре.

Чтобы сделать один сегмент, мы можем использовать один кусок проволоки. Начнем с внешней точки, пойдем по одной дуге к центру, затем пойдем по другой дуге обратно к внешней точке. Но это не соответствует рисунку, где линии сходятся в центре.

Если мы начнем в центре, проведем проволоку по одной дуге к внешней вершине, затем по другой дуге к центру, это будет один кусок, но это будет только половина одного сегмента.

Чтобы сделать один полный сегмент (лепесток), мы можем начать в одной из точек, где две дуги сходятся (внешняя вершина), пройти по одной дуге до центра, а затем по второй дуге до внешней вершины. Это один кусок проволоки.

Но мы можем спаивать точки. Если мы сделаем один сегмент одним куском, начнем во внешней вершине, пойдем по дуге к центру, затем по другой дуге к внешней вершине, то это один кусок.

Рассмотрим, как спаиваются эти части. Они соединены в центре. Если мы хотим сделать 6 таких сегментов, и каждый сегмент имеет две дуги, которые сходятся в центре, то нам нужно минимизировать число кусков.

Представим, что мы начинаем с одного куска проволоки. Мы можем пройти по всем внешним контурам, соединяя их. Затем, нам нужно соединить их в центре.

Каждый сегмент имеет две дуги. Всего 6 сегментов. Это 12 дуг. Если мы хотим использовать наименьшее количество кусков, то каждый кусок должен покрывать как можно большую часть конструкции.

Мы можем начать в одной из внешних вершин. Провести проволоку по одной дуге, прийти в центр. Затем, из центра, пойти по дуге следующего сегмента, затем снова в центр. Это потребует много соединений.

Наилучший способ — это рассматривать каждый