9. Из вершины D тупого угла параллелограмма TDNK проведена высота DF. TF = 16 см, FK = 15 см, ∠TDF = 30°. Найдите углы и периметр параллелограмма.

Так как DF — высота к стороне TK, точки T, F, K лежат на одной прямой и \(DF\perp TK\). Поэтому \(TK=TF+FK=16+15=31\) см.

В прямоугольном треугольнике TDF угол F равен 90°, а угол D равен 30°. Следовательно, \(\angle DTF=180°-90°-30°=60°\). Это острый угол параллелограмма при вершине T.

Соседний угол D равен \(180°-60°=120°\). Противоположные углы равны, поэтому ∠N = 60°, ∠K = 120°.

В прямоугольном треугольнике TDF сторона TF, лежащая напротив угла 30°, равна половине гипотенузы TD. Значит, \(TD=2\cdot16=32\) см.

Периметр: \(P=2(TD+TK)=2(32+31)=126\) см.

Ответ: ∠T = ∠N = 60°, ∠D = ∠K = 120°; периметр — 126 см.