9. К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО. Найдите радиус окружности, если АВ = 48, АО = 50.

Решение:

По условию, АВ — касательная к окружности, а О — центр окружности. Следовательно, радиус, проведённый в точку касания (если бы мы знали точку касания), был бы перпендикулярен касательной. Однако, в данном случае, АВ — касательная, а АО — секущая, которая проходит через центр О.

Из рисунка видно, что точка касания находится между А и В. Радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен касательной. Обозначим точку касания как Т. Тогда \( OT \perp AB \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ATO \).

По теореме Пифагора:

\[ AO^2 = AT^2 + OT^2 \]

Где \( AO = 50 \) (гипотенуза), \( OT \) — радиус окружности (катет), \( AT \) — отрезок касательной. Из рисунка следует, что \( AT = AB \). Но на рисунке АВ является частью секущей АО. По условию АВ = 48. На рисунке АО — секущая, проходящая через центр О. АВ — касательная. Если АВ — касательная, то она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Обозначим точку касания как Т. Тогда \( OT \perp AB \). Точка Т лежит на отрезке АВ. Таким образом, \( AT \) или \( TB \) является частью отрезка касательной. По условию касательная АВ = 48. АО = 50. Радиус — это отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности. На рисунке видно, что касательная проведена к некоторой точке на окружности, а секущая АО пересекает окружность в двух точках. Если АВ — касательная, то она касается окружности в некоторой точке. Если О — центр, а АО — секущая, то точка А находится вне окружности, а точка О — в центре. Если АВ — касательная, то угол между радиусом, проведённым к точке касания, и касательной равен 90°. Пусть точка касания — Т. Тогда \( \triangle ATO \) — прямоугольный, и \( OT \) — радиус. \( AO = 50 \). \( AB = 48 \). Но на рисунке изображена касательная АВ, проведенная к точке В, и секущая АО. Таким образом, \( \triangle ABO \) — прямоугольный, с прямым углом при В. В этом случае \( AO \) — гипотенуза. \( AO = 50 \) (гипотенуза), \( AB = 48 \) (катет). \( OB \) — второй катет, который является радиусом окружности. По теореме Пифагора: \( OB^2 = AO^2 - AB^2 \) \( OB^2 = 50^2 - 48^2 \) \( OB^2 = 2500 - 2304 \) \( OB^2 = 196 \) \( OB = \sqrt{196} \) \( OB = 14 \).

Ответ: 14