9. Материальная точка движется прямолинейно по закону \( y = x^3 - 192x + 5 \) (где \( x \) — расстояние от точки отсчета в метрах, \( t \) — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени \( t = 9 \text{ с} \).

Решение:

Скорость материальной точки является производной от её положения по времени. В данном случае, закон движения задан как \( y(t) = t^3 - 192t + 5 \), где \( y \) — положение (расстояние), а \( t \) — время.

1. Найдем производную функции \( y(t) \) по времени \( t \), чтобы получить функцию скорости \( v(t) \):

\( v(t) = y'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 192t + 5) \)

1. Применяем правила дифференцирования:

\( v(t) = 3t^{3-1} - 192t^{1-1} + 0 \)

\( v(t) = 3t^2 - 192 \)

1. Теперь подставим значение времени \( t = 9 \text{ с} \) в функцию скорости:

\( v(9) = 3(9)^2 - 192 \)

\( v(9) = 3(81) - 192 \)

\( v(9) = 243 - 192 \)

\( v(9) = 51 \)

Скорость измеряется в метрах в секунду (м/с).

Ответ: 51.