Глагол 'has got' используется для выражения принадлежности в третьем лице единственного числа ('aunt'). 'Hasn't' — это отрицательная форма, а 'have' — форма для первого и второго лица единственного/множественного числа.
has got — указывает на то, что тетя имеет (владеет) двух собак и попугая.