9. На плоскости отметили пять точек, через каждые две из них провели прямую. Сколько всего могло получиться прямых? Разберите все случаи.

Всего пар точек: \(\dfrac{5\cdot4}{2}=10\). Число различных прямых зависит от того, сколько точек лежит на одной прямой.

1. Никакие три точки не лежат на одной прямой: получаем \(10\) прямых.
2. Только три точки лежат на одной прямой: три пары дают одну прямую, поэтому \(10-2=8\) прямых.
3. Четыре точки лежат на одной прямой: шесть пар этих точек дают одну прямую, а пятая точка соединяется с каждой из четырёх. Получаем \(1+4=5\) прямых.
4. На двух прямых лежит по три точки, причём эти прямые имеют одну общую точку: из десяти пар образуются две группы по три пары, каждая группа даёт одну прямую. Поэтому \(10-2-2=6\) парных подсчётов не учитываются, и остаётся \(4\) прямые.
5. Все пять точек лежат на одной прямой: получаем одну прямую.

Ответ: могло получиться 1, 4, 5, 8 или 10 прямых.