9. На рисунке ∠BAD = 90°, ∠BAC = 45°, ∠BCD = 135°, AD = 30. Найти меньшую боковую сторону.

В треугольнике ABC угол A прямой, а ∠BAC = 45° относится к углу между BA и AC. Поэтому второй острый угол также равен 45°, и AB = BC.

Поскольку AB перпендикулярна AD, а BC параллельна AD по рисунку, угол между AC и AD равен 45°. В треугольнике ACD угол C равен 180° − 135° = 45°, значит угол D тоже равен 90°. Следовательно, ACD — прямоугольный равнобедренный треугольник, и AD — его гипотенуза.

Тогда \(AC=CD=30/\sqrt{2}=15\sqrt{2}\). В треугольнике ABC гипотенуза AC, поэтому \(AB=AC/\sqrt{2}=15\). Сравнивая боковые стороны: AB = 15, CD = 15√2; меньшая — AB.

Ответ: AB = 15.