9 Найдите длину высоты равностороннего треугольника, если его сторона равна \(10\sqrt{3}\).

Пошаговое решение:

1. Используем формулу высоты равностороннего треугольника:
2. Формула высоты \(h\) равностороннего треугольника со стороной \(a\) выглядит так: \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).
3. Подставляем значение стороны:
4. Дано, что сторона \(a = 10\sqrt{3}\).
5. Подставляем в формулу:
\( h = \frac{(10\sqrt{3})\sqrt{3}}{2} \)
6. Вычисляем:
• Умножаем \(\sqrt{3}\) на \(\sqrt{3}\): \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3\).
• Получаем:
\( h = \frac{10 \cdot 3}{2} \)
• \( h = \frac{30}{2} \)
• \( h = 15 \)
7. Альтернативный метод (теорема Пифагора):
• Высота делит основание пополам, образуя прямоугольный треугольник.
• Катеты: \(h\) и \(\frac{a}{2}\), гипотенуза: \(a\).
• \(a = 10\sqrt{3}\)
• \(\frac{a}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\)
• По теореме Пифагора: \(h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2\)
• \(h^2 + (5\sqrt{3})^2 = (10\sqrt{3})^2\)
• \(h^2 + (25 \cdot 3) = (100 \cdot 3)\)
• \(h^2 + 75 = 300\)
• \(h^2 = 300 - 75\)
• \(h^2 = 225\)
• \(h = \sqrt{225} = 15\)

Ответ: 15