9. Один из углов равнобедренного тупоугольного треугольника на 102° больше другого. Найдите больший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть эти углы равны \(x\).
• Так как треугольник тупоугольный, один из углов больше 90°. Это может быть только угол при вершине, противолежащий основанию.
• Пусть второй известный угол (не при основании) равен \(y\).
• По условию, один из углов больше другого на 102°.
• Возможны два случая:
• Случай 1: Угол при вершине больше угла при основании на 102°.
• \(y = x + 102°\).
• Сумма углов треугольника: \(x + x + y = 180°\).
• \(2x + (x + 102°) = 180°\).
• \(3x + 102° = 180°\).
• \(3x = 180° - 102°\).
• \(3x = 78°\).
• \(x = 26°\).
• Тогда \(y = 26° + 102° = 128°\).
• Углы треугольника: 26°, 26°, 128°. Это тупоугольный равнобедренный треугольник.
• Больший угол = 128°.
• Случай 2: Угол при основании больше другого угла при основании на 102°.
• \(x = x + 102°\). Это невозможно, так как 102° ≠ 0.
• Случай 3: Угол при основании больше угла при вершине на 102°.
• \(x = y + 102°\).
• Сумма углов: \(2x + y = 180°\).
• \(2(y + 102°) + y = 180°\).
• \(2y + 204° + y = 180°\).
• \(3y = 180° - 204°\).
• \(3y = -24°\).
• \(y = -8°\). Угол не может быть отрицательным, этот случай невозможен.

Ответ: 128°