9. Один угол треугольника в 3 раза меньше другого и на 15° больше третьего. Найдите все углы треугольника, если их сумма равна 180°.

Решение:

Пусть углы треугольника равны \( \alpha \), \( \beta \) и \( \gamma \).

Из условия задачи имеем:

1. \( \alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ} \) (сумма углов треугольника)
2. Один угол (пусть \( \alpha \)) в 3 раза меньше другого (пусть \( \beta \)): \( \alpha = \frac{\beta}{3} \) или \( \beta = 3\alpha \)
3. Этот же угол (\( \alpha \)) на 15° больше третьего (\( \gamma \)): \( \alpha = \gamma + 15^{\circ} \) или \( \gamma = \alpha - 15^{\circ} \)

Теперь подставим выражения для \( \beta \) и \( \gamma \) через \( \alpha \) в первое уравнение:

\( \alpha + (3\alpha) + (\alpha - 15^{\circ}) = 180^{\circ} \)

Сгруппируем члены с \( \alpha \):

\( \alpha + 3\alpha + \alpha - 15^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 5\alpha - 15^{\circ} = 180^{\circ} \)

Прибавим \( 15^{\circ} \) к обеим частям уравнения:

\( 5\alpha = 180^{\circ} + 15^{\circ} \)

\( 5\alpha = 195^{\circ} \)

Найдем \( \alpha \) путем деления:

\( \alpha = \frac{195^{\circ}}{5} \)

\( \alpha = 39^{\circ} \)

Теперь найдем остальные углы:

\( \beta = 3\alpha = 3 \times 39^{\circ} = 117^{\circ} \)

\( \gamma = \alpha - 15^{\circ} = 39^{\circ} - 15^{\circ} = 24^{\circ} \)

Проверим сумму углов:

\( 39^{\circ} + 117^{\circ} + 24^{\circ} = 156^{\circ} + 24^{\circ} = 180^{\circ} \)

Условия задачи выполнены.

Ответ: Углы треугольника равны 39°, 117° и 24°.