9. Решить неравенство: 2^(2x+1) - 21 \(\cdot\) (1/2)^(2x+3) + 2 \(\ge\) 0.

Решение:

1. Перепишем неравенство, используя свойства степеней:
2. \( 2^{2x+1} = 2^{2x} · 2^1 = 2 · (2^2)^x = 2 · 4^x \).
3. \( (1/2)^{2x+3} = (1/2)^{2x} · (1/2)^3 = (1/4)^x · 1/8 = \frac{(1/4)^x}{8} = \frac{1}{8 · 4^x} \).
4. Подставим в неравенство: \( 2 · 4^x - 21 · \frac{1}{8 · 4^x} + 2 \ge 0 \).
5. Умножим обе части неравенства на \( 8 · 4^x \) (это положительное число, знак неравенства не меняется):
6. \( 2 · 4^x · 8 · 4^x - 21 + 2 · 8 · 4^x \ge 0 \).
7. \( 16 · (4^x)^2 - 21 + 16 · 4^x \ge 0 \).
8. Сделаем замену переменной: пусть \( y = 4^x \). Так как \( 4^x > 0 \) для любого \( x \), то \( y > 0 \).
9. Получим квадратное неравенство: \( 16y^2 + 16y - 21 \ge 0 \).
10. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения \( 16y^2 + 16y - 21 = 0 \) с помощью дискриминанта:
11. \( D = 16^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-21) = 256 + 1344 = 1600 \).
12. \( \sqrt{D} = 40 \).
13. \( y_1 = \frac{-16 + 40}{2 \cdot 16} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4} \).
14. \( y_2 = \frac{-16 - 40}{2 \cdot 16} = \frac{-56}{32} = -\frac{7}{4} \).
15. Квадратный трехчлен \( 16y^2 + 16y - 21 \) имеет корни \( y = 3/4 \) и \( y = -7/4 \). График параболы \( y = 16y^2 + 16y - 21 \) направлен ветвями вверх, поэтому неравенство \( 16y^2 + 16y - 21 \ge 0 \) выполняется для \( y \le -7/4 \) или \( y \ge 3/4 \).
16. Учитывая условие \( y > 0 \), получаем \( y \ge 3/4 \).
17. Подставим обратную замену: \( 4^x \ge \frac{3}{4} \).
18. Логарифмируем обе части неравенства по основанию 4 (функция логарифма с основанием \( 4 > 1 \) является возрастающей, знак неравенства не меняется):
19. \( \log_4(4^x) \ge \log_4(\frac{3}{4}) \).
20. \( x \ge \log_4(3) - \log_4(4) \).
21. \( x \ge \log_4(3) - 1 \).

Ответ: \( x \ge \log_4(3) - 1 \).