9. Решить уравнение: 27/(x^2+3x) - 2/x = 3/(x^2-3x)

Решение:

Запишем уравнение:

\[ \frac{27}{x^2 + 3x} - \frac{2}{x} = \frac{3}{x^2 - 3x} \]

Приведём знаменатели к общему виду. Заметим, что \( x^2 + 3x = x(x+3) \) и \( x^2 - 3x = x(x-3) \).

Условие, что знаменатели не равны нулю, даёт \( x \neq 0 \), \( x \neq 3 \), \( x \neq -3 \).

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \( x(x+3)(x-3) \):

\[ 27(x-3) - 2(x+3)(x-3) = 3(x+3) \]

Раскроем скобки:

\[ 27x - 81 - 2(x^2 - 9) = 3x + 9 \]

Продолжим раскрывать скобки:

\[ 27x - 81 - 2x^2 + 18 = 3x + 9 \]

Перенесём все члены в левую часть:

\[ -2x^2 + 27x - 81 + 18 - 3x - 9 = 0 \]

Приведём подобные члены:

\[ -2x^2 + 24x - 72 = 0 \]

Разделим всё уравнение на \( -2 \):

\[ x^2 - 12x + 36 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Можно решить его через дискриминант или заметить, что это полный квадрат.

Дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 144 - 144 = 0 \]

Так как \( D = 0 \), уравнение имеет один корень:

\[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{12}{2} = 6 \]

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение \( x \) условиям \( x \neq 0 \), \( x \neq 3 \), \( x \neq -3 \).

\( 6 \) не равно \( 0 \), \( 3 \) и \( -3 \). Значит, корень подходит.

Ответ: x = 6.