9) Решите неравенство $$ \frac{x-3}{(4x-2)(x+2)} \leq 0 $$

Решение:

Данное неравенство решается методом интервалов.

1. Найдем корни числителя и знаменателя:
• Числитель: \( x - 3 = 0 \) \(\implies\) \( x = 3 \)
• Знаменатель: \( (4x - 2)(x + 2) = 0 \) \(\implies\) \( 4x - 2 = 0 \) или \( x + 2 = 0 \) \(\implies\) \( x = \frac{1}{2} \) или \( x = -2 \).
2. Разобьем числовую прямую на интервалы точками \( -2, \frac{1}{2}, 3 \).
3. Определим знаки выражения \( \frac{x-3}{(4x-2)(x+2)} \) на каждом интервале.
• При \( x > 3 \) (например, \( x=4 \)): \( \frac{+}{+ \cdot +} = + \)
• При \( \frac{1}{2} < x < 3 \) (например, \( x=1 \)): \( \frac{-}{+ \cdot +} = - \)
• При \( -2 < x < \frac{1}{2} \) (например, \( x=0 \)): \( \frac{-}{- \cdot +} = + \)
• При \( x < -2 \) (например, \( x=-3 \)): \( \frac{-}{- \cdot -} = - \)
4. Нам нужно, чтобы выражение было \( \leq 0 \). Учитывая, что знаменатель не может быть равен нулю, то \( x \neq -2 \) и \( x \neq \frac{1}{2} \). Корень \( x = 3 \) включается в решение, так как неравенство нестрогое.

Таким образом, решение неравенства:

\( \left(-\infty; -2\right) \cup \left[\frac{1}{2}; 3\right] \)

Ответ: \( \left(-\infty; -2\right) \cup \left[\frac{1}{2}; 3\right] \).