9. Решите систему уравнений \(\begin{cases} |x|-y=2 \\ 3x+|y|=11 \end{cases}\).

Привет! Давай решим эту систему с модулями.

Система:

\[ \begin{cases} |x|-y=2 \\ 3x+|y|=11 \end{cases} \]

Из первого уравнения выразим y:

\[ y = |x| - 2 \]

Теперь рассмотрим два случая для x.

Случай 1: $$x ≥ 0$$

В этом случае $$|x| = x$$. Тогда:

\[ y = x - 2 \]

Подставим это в первое уравнение системы (уже с учетом $$x ≥ 0$$):

\[ 3x + |y| = 11 \]

Теперь нам нужно рассмотреть два подслучая для y, так как $$y = x-2$$.

Случай 1.1: $$x ≥ 0$$ и $$y ≥ 0$$ (то есть $$x-2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2$$)

Тогда $$|y| = y = x-2$$. Подставляем в $$3x+|y|=11$$:

\[ 3x + (x-2) = 11 \]

\[ 4x - 2 = 11 \]

\[ 4x = 13 \]

\[ x = \frac{13}{4} \]

Проверяем условия: $$x = \frac{13}{4} = 3.25 ≥ 2$$. Условие выполняется. Находим y:

\[ y = x - 2 = \frac{13}{4} - 2 = \frac{13}{4} - \frac{8}{4} = \frac{5}{4} \]

Получили решение \( \left( \frac{13}{4}; \frac{5}{4} \right) \).

Случай 1.2: $$x ≥ 0$$ и $$y < 0$$ (то есть $$x-2 < 0 ⇒ 0 ≤ x < 2$$)

Тогда $$|y| = -y = -(x-2) = 2-x$$. Подставляем в $$3x+|y|=11$$:

\[ 3x + (2-x) = 11 \]

\[ 2x + 2 = 11 \]

\[ 2x = 9 \]

\[ x = \frac{9}{2} \]

Проверяем условия: $$x = 4.5$$. Это условие $$0 ≤ x < 2$$ не выполняется. Значит, решений в этом подслучае нет.

Случай 2: $$x < 0$$

В этом случае $$|x| = -x$$. Тогда из первого уравнения:

\[ y = |x| - 2 = -x - 2 \]

Подставляем это во второе уравнение системы $$3x+|y|=11$$:

\[ 3x + |-x-2| = 11 \]

Теперь нам нужно рассмотреть два подслучая для y, так как $$y = -x-2$$.

Случай 2.1: $$x < 0$$ и $$y ≥ 0$$ (то есть $$-x-2 ≥ 0 ⇒ -x ≥ 2 ⇒ x ≤ -2$$)

Тогда $$|y| = y = -x-2$$. Подставляем в $$3x+|y|=11$$:

\[ 3x + (-x-2) = 11 \]

\[ 2x - 2 = 11 \]

\[ 2x = 13 \]

\[ x = \frac{13}{2} \]

Проверяем условия: $$x = 6.5$$. Это условие $$x ≤ -2$$ не выполняется. Значит, решений в этом подслучае нет.

Случай 2.2: $$x < 0$$ и $$y < 0$$ (то есть $$-x-2 < 0 ⇒ -x < 2 ⇒ x > -2$$; с учетом $$x<0$$, имеем $$-2 < x < 0$$)

Тогда $$|y| = -y = -(-x-2) = x+2$$. Подставляем в $$3x+|y|=11$$:

\[ 3x + (x+2) = 11 \]

\[ 4x + 2 = 11 \]

\[ 4x = 9 \]

\[ x = \frac{9}{4} \]

Проверяем условия: $$x = 2.25$$. Это условие $$-2 < x < 0$$ не выполняется. Значит, решений в этом подслучае нет.

Сведем все найденные решения:

Единственное найденное решение — \( \left( \frac{13}{4}; \frac{5}{4} \right) \).

Ответ: \( \left( \frac{13}{4}; \frac{5}{4} \right) \)