9) Решите уравнение: а) \(81^{3x-4}=243^{x+5}\); б) \(9\cdot5^{3x-3}=125\cdot3^{4x-6}\).

а) Представим основания как степени числа 3: \(81=3^4\), \(243=3^5\). Тогда

\[(3^4)^{3x-4}=(3^5)^{x+5},\qquad 3^{12x-16}=3^{5x+25}.\]

Приравниваем показатели: \(12x-16=5x+25\), откуда \(7x=41\) и \(x=\frac{41}{7}\).

б) В видимой записи показатель справа прочитан как \(4x-6\). Применяем логарифмы к обеим частям:

\[\ln 9+(3x-3)\ln5=\ln125+(4x-6)\ln3.\]

Поскольку \(\ln9=2\ln3\) и \(\ln125=3\ln5\), получаем \(x(3\ln5-4\ln3)=6\ln3+6\ln5\). Следовательно,

\[x=\frac{6\ln15}{\ln(125/81)}.\]

Ответ: а) \(x=\frac{41}{7}\); б) \(x=\frac{6\ln15}{\ln(125/81)}\).