№9 Решите уравнение: (sin-)

Решение:

Уравнение:

\[ \left(\sin\frac{x}{2}\right)^2 - \left(\cos\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1 \) и формулу косинуса двойного угла \( \cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} \).

Умножим обе части уравнения на \( -1 \):

\[ \left(\cos\frac{x}{2}\right)^2 - \left(\sin\frac{x}{2}\right)^2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Применим формулу косинуса двойного угла, где \( \alpha = \frac{x}{2} \), значит \( 2\alpha = x \):

\[ \cos{x} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Решением данного уравнения являются углы, косинус которых равен \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Это \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \) и \( x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Можно объединить эти решения в одну формулу:

\[ x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)