9. Решите уравнение: x³ + 3x² - 4x − 12 = 0. (3 балла)

Решение:

Решим кубическое уравнение \( x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0 \) методом группировки.

Сгруппируем первые два члена и последние два члена:

\[ (x^3 + 3x^2) + (-4x - 12) = 0 \]

Вынесем общие множители из каждой группы:

\[ x^2(x + 3) - 4(x + 3) = 0 \]

Теперь вынесем общий множитель \( (x + 3) \):

\[ (x + 3)(x^2 - 4) = 0 \]

Разложим \( x^2 - 4 \) как разность квадратов \( (x - 2)(x + 2) \):

\[ (x + 3)(x - 2)(x + 2) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) \( x + 3 = 0 → x = -3 \)

2) \( x - 2 = 0 → x = 2 \)

3) \( x + 2 = 0 → x = -2 \)

Ответ: x = -3, x = 2, x = -2.