9 Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма.

Признаки параллелограмма:

1. Признак 1: Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
2. Признак 2: Если в четырёхугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
3. Признак 3: Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
4. Признак 4: Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон параллельна и равна, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Доказательства признаков:

Доказательство Признака 1:

Дано: Четырёхугольник ABCD, AB = CD, BC = AD.

Доказать: ABCD — параллелограмм.

1. Проведем диагональ AC.
2. Рассмотрим ΔABC и ΔCDA. AB = CD, BC = AD (по условию), AC — общая сторона.
3. Следовательно, ΔABC = ΔCDA по третьему признаку равенства треугольников.
4. Из равенства треугольников следует: ∠BAC = ∠DCA и ∠BCA = ∠DAC.
5. Так как ∠BAC = ∠DCA, то AB || CD (как накрест лежащие углы при секущей AC).
6. Так как ∠BCA = ∠DAC, то BC || AD (как накрест лежащие углы при секущей AC).
7. По определению, четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом.

Доказательство Признака 2:

Дано: Четырёхугольник ABCD, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.

Доказать: ABCD — параллелограмм.

1. Сумма углов четырёхугольника равна 360°.
2. ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
3. Так как ∠A = ∠C и ∠B = ∠D, то 2∠A + 2∠B = 360°, откуда ∠A + ∠B = 180°.
4. Углы ∠A и ∠B являются односторонними при сторонах AD и BC и секущей AB. Их сумма равна 180°, следовательно, AD || BC.
5. Аналогично, ∠B + ∠C = 180° (так как ∠B = ∠D, то ∠B + ∠A = 180°). Эти углы являются односторонними при сторонах AB и CD и секущей BC. Следовательно, AB || CD.
6. По определению, четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом.

Доказательство Признака 3:

Дано: Четырёхугольник ABCD, диагонали AC и BD пересекаются в точке O, AO = OC, BO = OD.

Доказать: ABCD — параллелограмм.

1. Рассмотрим ΔAOB и ΔCOD. AO = OC, BO = OD (по условию), ∠AOB = ∠COD (как вертикальные).
2. Следовательно, ΔAOB = ΔCOD по первому признаку равенства треугольников.
3. Из равенства треугольников следует: ∠BAO = ∠DCO и ∠ABO = ∠CDO.
4. Так как ∠BAO = ∠DCO, то AB || CD (как накрест лежащие углы при секущей AC).
5. Так как ∠ABO = ∠CDO, то AB || CD (как накрест лежащие углы при секущей BD).
6. Из того, что AB || CD, следует, что ABCD — параллелограмм (по определению, если одна пара сторон параллельна, но мы уже доказали, что и другая пара параллельна, т.к. ΔAOD = ΔCOB по первому признаку: AO=OC, OD=OB, ∠AOD=∠COB (верт.). Из этого равенства следует ∠DAO=∠BCO, значит AD || BC).
7. Более просто: достаточно доказать, что одна пара сторон параллельна и равна. Мы уже доказали, что AB || CD.

Доказательство Признака 4:

Дано: Четырёхугольник ABCD, AB || CD, AB = CD.

Доказать: ABCD — параллелограмм.

1. Проведем диагональ AC.
2. Рассмотрим ΔABC и ΔCDA. AB = CD (по условию), AC — общая сторона.
3. Так как AB || CD, то ∠BAC = ∠DCA (как накрест лежащие углы при секущей AC).
4. Следовательно, ΔABC = ΔCDA по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
5. Из равенства треугольников следует: ∠BCA = ∠DAC.
6. Так как ∠BCA = ∠DAC, то BC || AD (как накрест лежащие углы при секущей AC).
7. Поскольку AB || CD и BC || AD, то ABCD — параллелограмм по определению.