7 Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Доказательство:

Давай докажем это, используя знания о треугольниках.

1. Рисуем параллелограмм: Возьмём параллелограмм ABCD.
2. Проводим диагональ: Проведём диагональ AC. Она разделит наш параллелограмм на два треугольника: ABC и ADC.
3. Что мы знаем о параллельных прямых? Так как стороны AB и DC параллельны, а AC – секущая, то углы BAC и DCA равны как накрест лежащие.
4. То же самое для других сторон: А так как стороны AD и BC параллельны, а AC – секущая, то углы BCA и DAC тоже равны как накрест лежащие.
5. Смотрим на треугольники: Теперь у нас есть два треугольника (ABC и ADC), у которых:
   
   • сторона AC – общая (она есть в обоих треугольниках);
   • угол BAC равен углу DCA;
   • угол BCA равен углу DAC.
6. Делаем вывод по первому признаку равенства треугольников: По первому признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), наши треугольники ABC и ADC равны.
7. Что из этого следует? Если треугольники равны, то все их соответствующие стороны и углы равны.
• Значит, сторона AB равна стороне DC, а сторона BC равна стороне AD. Это доказывает, что противоположные стороны параллелограмма равны.
• Также равны углы ABC и CDA.
8. Как доказать равенство других углов? Можно провести вторую диагональ BD. Тогда мы получим треугольники ABD и CDB. По той же схеме (AB || DC, AD || BC, BD – общая) мы докажем, что эти треугольники равны. Отсюда следует, что углы DAB и BCD равны.

Итак, мы доказали, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.