9 Сформулируйте и докажите теорему о законах сложения векторов.

Решение:

Теорема о законах сложения векторов утверждает, что сложение векторов обладает свойствами коммутативности (переместительным) и ассоциативности (сочетательным).

1. Коммутативный закон (Переместительный):

Формулировка: От перестановки слагаемых сумма не меняется. То есть, для любых двух векторов a и b справедливо равенство: a + b = b + a.

Доказательство (с использованием правила параллелограмма):

Для сложения векторов a и b построим параллелограмм, где векторы a и b являются смежными сторонами, исходящими из одной точки О. Диагональ параллелограмма, исходящая из той же точки О, является вектором суммы a + b. Другая диагональ, исходящая из противоположной вершины, является вектором суммы b + a. Поскольку параллелограмм является частным случаем векторного сложения, и векторы a и b являются смежными сторонами, диагональ, соответствующая сумме a + b, совпадает с диагональю, соответствующей сумме b + a (в силу симметрии параллелограмма и того, что оба вектора можно отложить от одной точки).

2. Ассоциативный закон (Сочетательный):

Формулировка: Сумма трех или более векторов не зависит от порядка их объединения в пары для сложения. То есть, для любых трех векторов a, b и c справедливо равенство: (a + b) + c = a + (b + c).

Доказательство (с использованием правила многоугольника):

Для доказательства этого закона удобно использовать правило многоугольника. Сначала найдем сумму a + b, отложив вектор b от конца вектора a. Полученный вектор обозначим как (a + b). Затем к этому вектору прибавим вектор c, отложив c от конца вектора (a + b). Получим вектор (a + b) + c, который идет от начала вектора a до конца вектора c.

Теперь рассмотрим a + (b + c). Сначала найдем сумму b + c. Затем к вектору a прибавим вектор (b + c). В итоге получим вектор, который идет от начала вектора a до конца вектора c.

Так как и в первом, и во втором случае мы получаем вектор, идущий от начальной точки первого вектора к конечной точке последнего вектора в последовательности, эти векторы равны.

Вывод: Сложение векторов подчиняется коммутативному и ассоциативному законам.