9 Сформулируйте и докажите теорему о законах сложения векторов.

Теорема о законах сложения векторов:

Формулировка:

• При сложении векторов выполняются переместительный (коммутативный) и сочетательный (ассоциативный) законы.

1. Переместительный закон:

• Теорема: От перемены мест слагаемых сумма векторов не меняется.
• Формула: a + b = b + a
• Доказательство (правило параллелограмма):
• Пусть даны два неколлинеарных вектора a и b.
• По правилу параллелограмма, их сумма a + b — это диагональ параллелограмма, построенного на векторах a и b, исходящая из их общего начала.
• Если мы поменяем векторы местами, построив параллелограмм на векторах b и a, то получим тот же самый параллелограмм. Диагональ, исходящая из общего начала, будет той же самой.
• Таким образом, a + b = b + a.

2. Сочетательный закон:

• Теорема: При сложении трех векторов сумма не зависит от порядка их сложения.
• Формула: (a + b) + c = a + (b + c)
• Доказательство (правило многоугольника):
• Сложим векторы a и b, получим вектор (a + b).
• Затем прибавим к результату вектор c: (a + b) + c. По правилу многоугольника, это вектор, идущий от начала a к концу c.
• Теперь сложим векторы b и c, получим вектор (b + c).
• Прибавим к вектору a результат: a + (b + c). По правилу многоугольника, это вектор, идущий от начала a к концу c.
• Оба выражения дают один и тот же результирующий вектор.

Ответ: Теорема о законах сложения векторов утверждает, что сложение векторов подчиняется переместительному (a + b = b + a) и сочетательному ((a + b) + c = a + (b + c)) законам.