9. Тип 17 № 12021 Задумали трёхзначное число, которое делится на 37 и последняя цифра которого в 2 раза меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказалась больше 300. Какое число было задумано?

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• Пусть трёхзначное число имеет вид $$100a + 10b + c$$, где $$a$$, $$b$$, $$c$$ — цифры числа.
• $$a$$ — первая цифра (сотни), $$b$$ — вторая цифра (десятки), $$c$$ — третья цифра (единицы).
• Условия задачи:
• 1. Число трёхзначное, значит $$a eq 0$$.
• 2. Число делится на 37.
• 3. Последняя цифра ($$c$$) в 2 раза меньше первой ($$a$$): $$c = rac{a}{2}$$. Из этого следует, что $$a$$ должно быть чётным числом (2, 4, 6, 8).
• 4. Из исходного числа вычли число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Это число имеет вид $$100c + 10b + a$$.
• 5. Полученная разность больше 300: $$(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) > 300$$.
• Упростим разность:
• $$(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 99a - 99c = 99(a - c)$$.
• Итак, $$99(a - c) > 300$$.
• Разделим обе части на 99: $$a - c > rac{300}{99} ightarrow a - c > 3.03$$.
• Теперь переберем возможные значения $$a$$ (чётные и $$a eq 0$$) и $$c$$ (где $$c = a/2$$):
• * Если $$a = 2$$, то $$c = 1$$. Разность $$a - c = 2 - 1 = 1$$. $$1 gtr 3.03$$.
• * Если $$a = 4$$, то $$c = 2$$. Разность $$a - c = 4 - 2 = 2$$. $$2 gtr 3.03$$.
• * Если $$a = 6$$, то $$c = 3$$. Разность $$a - c = 6 - 3 = 3$$. $$3 gtr 3.03$$.
• * Если $$a = 8$$, то $$c = 4$$. Разность $$a - c = 8 - 4 = 4$$. $$4 > 3.03$$.
• Значит, $$a = 8$$ и $$c = 4$$.
• Теперь мы знаем, что первая цифра равна 8, а последняя — 4. Число имеет вид $$8b4$$.
• Проверим условие, что число делится на 37.
• Возможные числа: 804, 814, 824, 834, 844, 854, 864, 874, 884, 894.
• Проверим делимость на 37:
• * $$804 eq 37k$$ (804 / 37 ≈ 21.7)
• * $$814 eq 37k$$ (814 / 37 ≈ 22) - 814 = 37 * 22.
• * $$824 eq 37k$$
• * $$834 eq 37k$$
• * $$844 eq 37k$$
• * $$854 eq 37k$$
• * $$864 eq 37k$$
• * $$874 eq 37k$$
• * $$884 eq 37k$$
• * $$894 eq 37k$$
• Число 814 делится на 37. $$814 ext{ (первая цифра 8, последняя 4, } 8/2=4 ext{)} = 37 imes 22$$.
• Проверим разность для числа 814:
• Число, записанное в обратном порядке: 418.
• Разность: $$814 - 418 = 396$$.
• $$396 > 300$$. Условие выполнено.
• Значит, задуманное число — 814.

Ответ: 814