9. Точка M — середина стороны CD параллелограмма ABCD. На его стороне AD взяты такую точку K, что углы AKM и BMK равны. Найдите BM, если AK = 8, KD = 1.

Поскольку K лежит на стороне AD, точки A, K и D коллинеарны, причём \(AD=AK+KD=8+1=9\).

Из равенства углов \(\angle AKM=\angle BMK\) следует, что прямые AK и BM параллельны (это накрест лежащие углы при секущей KM). Так как AK лежит на AD, получаем \(BM\parallel AD\).

В параллелограмме M — середина CD. Отрезок, проведённый через середину CD параллельно AD, пересекает AB в его середине; следовательно, длина этого отрезка равна AD. Значит, \(BM=AD=9\).

Ответ: 9.