9. Треугольник ABC изображён на клетчатой бумаге с размером клетки 1×1. Чему равна длина биссектрисы, проведённой из вершины B?

По клеткам можно считать координаты вершин: \(A=(1,3)\), \(B=(3,1)\), \(C=(9,7)\) (начало координат выбрано в левом верхнем углу сетки).

Длины сторон, прилежащих к углу B: \(AB=2\sqrt{2}\), \(BC=6\sqrt{2}\), а противоположная сторона \(AC=4\sqrt{5}\).

Длина биссектрисы из B вычисляется по формуле \(l_B^2=AB\cdot BC\left(1-\frac{AC^2}{(AB+BC)^2}\right)\).

Подставляем: \(l_B^2=24\left(1-\frac{80}{(8\sqrt{2})^2}\right)=24\left(1-\frac{5}{8}\right)=9\), поэтому \(l_B=3\).

Ответ: 3.