9. В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Это задача про арифметическую прогрессию! Давай посчитаем, сколько всего мест.

1. Определим, что нам известно:
   • Количество рядов (n) = 14
   • Мест в первом ряду (a₁) = 16
   • Разница между местами в соседних рядах (d) = 2 (так как в каждом следующем ряду на 2 места больше)
2. Нам нужно найти сумму мест во всех 14 рядах (S₁₄).
3. Сначала найдем, сколько мест в последнем (14-м) ряду (a₁₄). Используем формулу для n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + d(n-1) \)
   • \( a_{14} = 16 + 2(14-1) \)
   • \( a_{14} = 16 + 2(13) \)
   • \( a_{14} = 16 + 26 \)
   • \( a_{14} = 42 \)

   Значит, в 14-м ряду 42 места.

4. Теперь найдем сумму мест во всех рядах. Используем формулу суммы арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n \)
   • \( S_{14} = \frac{16 + 42}{2} \times 14 \)
   • \( S_{14} = \frac{58}{2} \times 14 \)
   • \( S_{14} = 29 \times 14 \)
5. Вычислим произведение:

$$ 29 \times 14 = 29 \times (10 + 4) = 290 + 29 \times 4 = 290 + 116 = 406 $$

Ответ: 406