9. В четырёхугольнике ABCD (рис. 4) AO = OC, ∠BAC = ∠ACD. Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

1. Так как ∠BAC и ∠ACD — накрест лежащие углы при прямых AB и CD и секущей AC, из их равенства следует, что AB ∥ CD.

2. Рассмотрим треугольники AOB и COD. По условию AO = OC, ∠BAO = ∠DCO; углы AOB и COD равны как вертикальные. Значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

3. Из равенства треугольников следует, что BO = OD. Следовательно, диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD точкой O делятся пополам.

4. Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Ответ: ABCD — параллелограмм.