9) В окружности проведены хорды AC и BC. Угол BAC равен 68°. Найдите угол ABC.

Краткое пояснение:

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы BAC и BOC опираются на дугу BC. Угол ABC и угол BAC опираются на разные дуги.

Пошаговое решение:

1. Угол BAC = 68° является вписанным и опирается на дугу BC.
2. Центральный угол BOC, опирающийся на ту же дугу BC, равен удвоенному вписанному углу BAC: \( ext{Угол } BOC = 2 imes 68^{\circ} = 136^{\circ} \).
3. Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу AC.
4. Угол AOC является центральным углом, опирающимся на дугу AC.
5. Угол ABC равен половине угла AOC.
6. Для нахождения угла AOC, нам нужно найти дугу AC. Дуга AC = 360° - Дуга BC.
7. Дуга BC = Угол BOC = 136°.
8. Дуга AC = 360° - 136° = 224°.
9. Угол ABC = \( rac{ ext{Дуга } AC}{2} = rac{224^{\circ}}{2} = 112^{\circ} \).
10. Альтернативно, если угол ABC является острым, он опирается на дугу AC, которая не содержит точки B.
11. Пусть угол ABC = x. Тогда дуга AC = 2x.
12. Дуга BC = 360 - 2x.
13. Угол BAC = 68. Дуга BC = 2 * 68 = 136.
14. 360 - 2x = 136. 2x = 360 - 136 = 224. x = 112.
15. Или, если угол ABC вписанный и опирается на дугу AC, а угол BAC тоже вписанный и опирается на дугу BC.
16. Из рисунка видно, что угол ABC является тупым.
17. Угол ABC = 112°.

Ответ: 112