9. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 109°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Так как AB = CD, а AC = 2AB, то AC = 2CD.

Рассмотрим треугольник ACD. Обозначим CD = 1, тогда AC = 2. Угол ACD равен 109°.

По теореме косинусов:

AD² = AC² + CD² − 2 · AC · CD · cos 109° = 5 − 4 cos 109°.

Диагональ BD является векторной разностью диагонали AC и двух равных по длине векторов AB. Поэтому для угла φ между диагоналями:

cos φ = (4 − 4 cos 109°) / (2√(8 − 8 cos 109°)).

Отсюда φ ≈ 35,4°.

Ответ: примерно 35,4°.