№ 9. В равнобедренной трапеции ABCD AB = CD = 7, AH = 3, BH ⟂ AD. Диагональ BD делит угол CDA пополам. Найдите AD.

Так как BH ⟂ AD, треугольник ABH прямоугольный. По теореме Пифагора:

BH² = AB² − AH² = 7² − 3² = 40, поэтому BH = 2√10.

В равнобедренной трапеции горизонтальные проекции боковых сторон на основание равны. Следовательно, отрезок от проекции C на AD до D также равен 3, и AD = BC + 6.

Поскольку BC ∥ AD, углы CBD и BDA равны как накрест лежащие. По условию BD — биссектриса угла CDA, поэтому ∠BDC = ∠BDA. Значит, ∠BDC = ∠CBD, а в треугольнике BCD равны противоположные им стороны: BC = CD = 7.

Тогда AD = BC + 6 = 7 + 6 = 13.

Ответ: AD = 13.