№ 9. В равнобедренной трапеции ABCD (AB = CD, BC ∥ AD) AB = 7, AH = 3, BH ⟂ AD. Диагональ BD — биссектриса угла CDA. Найдите AD.

В прямоугольном треугольнике ABH по теореме Пифагора:

BH² = AB² − AH² = 7² − 3² = 40, поэтому BH = 2√10.

Поскольку AB = CD, а высоты трапеции равны, горизонтальный отрезок от основания высоты, опущенной из C, до D тоже равен AH, то есть 3.

Обозначим AD = L. Тогда горизонтальная проекция DB равна L − 3. Угол между DB и DA равен половине угла CDA, так как BD — биссектриса. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой CD, горизонтальным катетом 3 и вертикальным катетом BH имеем CD = 7. Для половины угла CDA:

tan(∠BDA) = tan(∠CDA / 2) = BH / (CD + 3) = 2√10 / 10 = √10 / 5.

Также tan(∠BDA) = BH / (L − 3). Следовательно, 2√10 / (L − 3) = √10 / 5, откуда L − 3 = 10 и L = 13.

Ответ: AD = 13.