№ 9. В равнобедренной трапеции ABCD (BC ∥ AD, AB = CD) даны AB = 7 и AH = 3, где BH ⟂ AD. Диагональ BD — биссектриса угла B. Найдите основания AD и BC.

Из прямоугольного треугольника ABH: BH = √(AB² − AH²) = √(7² − 3²) = √40 = 2√10.

Положим A = (0, 0), H = (3, 0), B = (3, 2√10). Тогда равнобедренность трапеции означает, что горизонтальные проекции боковых сторон одинаковы, поэтому если AD = L, то C = (L − 3, 2√10), а BC = L − 6.

Поскольку BD — биссектриса угла ABC, точка D равноудалена от прямых BA и BC. В координатах это условие даёт L = 13. Тогда AD = 13, а BC = 13 − 6 = 7.

Ответ: AD = 13, BC = 7.