9. В треугольнике ABC: AB = 13, BC = 15, AC = 14. Высота из B к AC обозначена x.

По рисунку можно найти высоту x. Пусть её основание — D. Тогда \(AD+DC=14\), а из прямоугольных треугольников \(x^2+AD^2=13^2\) и \(x^2+DC^2=15^2\). Вычитая равенства, получаем \(DC^2-AD^2=56\), то есть \((DC-AD)\cdot14=56\), откуда \(DC-AD=4\). Решая систему \(AD+DC=14\), \(DC-AD=4\), получаем \(AD=5\), \(DC=9\). Тогда \(x^2=13^2-5^2=144\), поэтому \(x=12\).

Ответ: 12.