9) В треугольнике ABC, AO — медиана. Известно, что AB=18, AC=40, BC=23. Найти AO.

Решение:

Воспользуемся теоремой Аполлония для нахождения длины медианы:

AB² + AC² = 2 * (AO² + BO²)

Так как AO — медиана, то BO = OC = BC / 2. Следовательно, BO = 23 / 2 = 11.5.

Подставим известные значения в формулу:

18² + 40² = 2 * (AO² + 11.5²)

324 + 1600 = 2 * (AO² + 132.25)

1924 = 2 * AO² + 264.5

2 * AO² = 1924 - 264.5

2 * AO² = 1659.5

AO² = 1659.5 / 2

AO² = 829.75

AO = √829.75

AO ≈ 28.8

Проверим условие существования треугольника:

• 18 + 40 = 58 > 23
• 18 + 23 = 41 > 40
• 40 + 23 = 63 > 18

Треугольник существует.

Ответ: √829.75 (приблизительно 28.8)