9 В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 10, tg A = 2√6 / 5. Найдите длину стороны AC.

Так как AC = BC, то треугольник ABC является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠A = ∠B.

Известно, что tg A = 2√6 / 5.

Так как ∠A = ∠B, то tg B = 2√6 / 5.

Воспользуемся теоремой синусов: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \)

В нашем случае, a = BC, b = AC, c = AB = 10.

Так как AC = BC, то a = b.

\( \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} \)

Нам нужно найти AC. Мы знаем AB = 10.

Известно, что tg A = 2√6 / 5. Чтобы найти sin A, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: sin²A + cos²A = 1.

Также, tg A = sin A / cos A.

cos A = tg A / sin A.

sin²A + (tg A / sin A)² = 1

sin²A + (tg²A / sin²A) = 1

sin⁴A + tg²A = sin²A

sin⁴A - sin²A + tg²A = 0

Это квадратное уравнение относительно sin²A.

Let x = sin²A.

x² - x + (2√6/5)² = 0

x² - x + (4*6)/25 = 0

x² - x + 24/25 = 0

25x² - 25x + 24 = 0

Дискриминант D = (-25)² - 4 * 25 * 24 = 625 - 2400 = -1775.

Так как дискриминант отрицательный, действительных корней нет. Это значит, что первоначальное предположение о возможности такого треугольника с заданным тангенсом неверно, или я допустил ошибку в расчетах.

Пересмотрим задачу. Если tg A = 2√6 / 5, то мы можем построить прямоугольный треугольник, где противолежащий катет равен 2√6, а прилежащий - 5. Гипотенуза будет равна \( \sqrt{(2\sqrt{6})^2 + 5^2} = \sqrt{24 + 25} = \sqrt{49} = 7 \).

Тогда sin A = 2√6 / 7 и cos A = 5 / 7.

Так как AC = BC, то ∠A = ∠B. Угол C = 180° - 2A.

В треугольнике ABC, проведем высоту CH к основанию AB. H будет серединой AB, значит AH = HB = 10/2 = 5.

В прямоугольном треугольнике AHC:

cos A = AH / AC

AC = AH / cos A

AC = 5 / (5/7)

AC = 5 * (7/5)

AC = 7

Ответ: 7