9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 12, sin A = \(\frac{\sqrt{11}}{6}\). Найдите длину стороны AC. Ответ:

Решение:

1. Определение тригонометрической функции: В прямоугольном треугольнике синус острого угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе. В данном случае, \(\sin A = \frac{BC}{AB}\).
2. Нахождение катета BC: Нам дано \(AB = 12\) и \(\sin A = \frac{\sqrt{11}}{6}\). Подставим эти значения в формулу:
   • \[ \frac{\sqrt{11}}{6} = \frac{BC}{12} \]
   • Чтобы найти BC, умножим обе части уравнения на 12:
   • \[ BC = 12  \frac{\sqrt{11}}{6} = 2  \sqrt{11} \]
3. Применение теоремы Пифагора: Теперь, зная гипотенузу AB и катет BC, мы можем найти второй катет AC, используя теорему Пифагора: \(AC^2 + BC^2 = AB^2\).
   • \[ AC^2 + (2 \sqrt{11})^2 = 12^2 \]
   • \[ AC^2 + (4  11) = 144 \]
   • \[ AC^2 + 44 = 144 \]
   • \[ AC^2 = 144 - 44 \]
   • \[ AC^2 = 100 \]
   • \[ AC = \sqrt{100} \]
   • \[ AC = 10 \]

Ответ: 10