9 В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 3, cos A = √5/5. Найдите длину стороны ВС.

Решение:

1. Нахождение sin A:
   Используем основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$.
   $$\sin^2 A + (\frac{\sqrt{5}}{5})^2 = 1$$
   $$\sin^2 A + \frac{5}{25} = 1$$
   $$\sin^2 A + \frac{1}{5} = 1$$
   $$\sin^2 A = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$$
   Поскольку A - угол прямоугольного треугольника, $$\sin A > 0$$.
   $$\sin A = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$.
2. Нахождение BC:
   В прямоугольном треугольнике $$\sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB}$$.
   Также $$\cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB}$$.
   Из второго равенства найдем гипотенузу AB:
   AB = $$\frac{AC}{\cos A} = \frac{3}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{3 \times 5}{\sqrt{5}} = \frac{15}{\sqrt{5}} = \frac{15\sqrt{5}}{5} = 3\sqrt{5}$$.
3. Нахождение BC с помощью sin A:
   BC = AB $$\times \sin A = 3\sqrt{5} \times \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{3 \times 2 \times (\sqrt{5})^2}{5} = \frac{6 \times 5}{5} = 6$$.
4. Нахождение BC с помощью тангенса:
   $$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = 2$$.
   В прямоугольном треугольнике $$\tan A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC}$$.
   BC = AC $$\times \tan A = 3 \times 2 = 6$$.

Ответ: 6