9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 5, cos A = \(\frac{5\sqrt{61}}{61}\). Найдите длину стороны BC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, где \(\angle C = 90^{\circ}\), мы знаем:

• Катет AC = 5
• Косинус угла A: \(\cos A = \frac{AC}{AB}\)
• Значение \(\cos A = \frac{5\sqrt{61}}{61}\)

Используем формулу косинуса для нахождения гипотенузы AB:

\(\cos A = \frac{AC}{AB} \implies AB = \frac{AC}{\cos A}\)

Подставим известные значения:

\(AB = \frac{5}{\frac{5\sqrt{61}}{61}} = 5 \times \frac{61}{5\sqrt{61}} = \frac{61}{\sqrt{61}} = \sqrt{61}\)

Теперь, зная гипотенузу AB и катет AC, мы можем найти катет BC с помощью теоремы Пифагора: \(AC^2 + BC^2 = AB^2\).

\(5^2 + BC^2 = (\sqrt{61})^2\)

\(25 + BC^2 = 61\)

\(BC^2 = 61 - 25\)

\(BC^2 = 36\)

\(BC = \sqrt{36}\)

\(BC = 6\)

Ответ: 6