9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 5, cos A = \(\frac{5\sqrt{74}}{74}\). Найдите длину стороны BC.

Задание 9. Длина стороны BC в прямоугольном треугольнике

У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90°.

Известно, что:

• Катет \( AC = 5 \)
• Косинус угла A: \( \cos A = \frac{5\sqrt{74}}{74} \)

В прямоугольном треугольнике косинус угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе.

\[ \cos A = \frac{AC}{AB} \]

Где \(AB\) — гипотенуза.

Подставим известные значения:

\[ \frac{5\sqrt{74}}{74} = \frac{5}{AB} \]

Теперь найдём длину гипотенузы \(AB\):

\[ AB = \frac{5}{\frac{5\sqrt{74}}{74}} = 5 \cdot \frac{74}{5\sqrt{74}} = \frac{74}{\sqrt{74}} = \sqrt{74} \]

Теперь, когда мы знаем гипотенузу \(AB = \sqrt{74}\) и катет \(AC = 5\), мы можем найти второй катет \(BC\), используя теорему Пифагора:

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

\[ 5^2 + BC^2 = (\sqrt{74})^2 \]

\[ 25 + BC^2 = 74 \]

Вычтем 25 из обеих частей:

\[ BC^2 = 74 - 25 \]

\[ BC^2 = 49 \]

Извлечём квадратный корень:

\[ BC = \sqrt{49} = 7 \]

Ответ: 7