9 В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 6, cos A = 3√13 / 13. Найдите длину стороны ВС.

В прямоугольном треугольнике ABC:

• Угол C = 90°.
• AC = 6 (прилежащий катет к углу A).
• BC — искомый катет (противолежащий углу A).
• AB — гипотенуза.

Нам дано, что cos A = 3√13 / 13.

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:

cos A = (прилежащий катет) / (гипотенуза) = AC / AB

Подставим известные значения:

3√13 / 13 = 6 / AB

Найдем длину гипотенузы AB:

AB = 6 / (3√13 / 13) = 6 * (13 / 3√13) = (6 * 13) / (3√13) = (2 * 13) / √13 = 26 / √13

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на √13:

AB = (26 * √13) / (√13 * √13) = 26√13 / 13 = 2√13

Теперь найдем длину катета BC, используя теорему Пифагора (AB² = AC² + BC²) или определение тангенса.

Найдем sin A. Мы знаем, что sin^2 A + cos^2 A = 1.

sin^2 A = 1 - cos^2 A = 1 - (3√13 / 13)^2

sin^2 A = 1 - (9 * 13) / 169 = 1 - 117 / 169

sin^2 A = (169 - 117) / 169 = 52 / 169

sin A = √(52 / 169) = √52 / √169 = √(4 * 13) / 13 = 2√13 / 13

Теперь найдем BC, используя определение синуса:

sin A = (противолежащий катет) / (гипотенуза) = BC / AB

BC = AB * sin A = (2√13) * (2√13 / 13)

BC = (2 * 2 * √13 * √13) / 13 = (4 * 13) / 13 = 4

Ответ: 4