9 В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 180, sin A = 1/6. Найдите длину отрезка BH.

Решение:

1. Найдем длину катета BC:
   В прямоугольном треугольнике ABC, \( \sin A = \frac{BC}{AB} \).
   Нам дано \( \sin A = \frac{1}{6} \) и \( AB = 180 \).
   \[ \frac{1}{6} = \frac{BC}{180} \]
   Отсюда, \( BC = \frac{180}{6} = 30 \).
2. Найдем длину высоты CH:
   Площадь треугольника ABC можно вычислить двумя способами:
   1) \( S = \frac{1}{2} imes AC imes BC \)
   2) \( S = \frac{1}{2} imes AB imes CH \)
   Сначала найдем AC по теореме Пифагора: \( AC^2 = AB^2 - BC^2 = 180^2 - 30^2 = 32400 - 900 = 31500 \).
   \( AC = \sqrt{31500} = \sqrt{900 \times 35} = 30\sqrt{35} \).
   Теперь найдем CH:
   \[ \frac{1}{2} imes 30\sqrt{35} imes 30 = \frac{1}{2} imes 180 imes CH \]
   \[ 450\sqrt{35} = 90 imes CH \]
   \[ CH = \frac{450\sqrt{35}}{90} = 5\sqrt{35} \].
3. Найдем длину BH:
   В прямоугольном треугольнике CHB, \( \angle CHB = 90^° \).
   Мы знаем \( BC = 30 \) и \( CH = 5\sqrt{35} \>.
   По теореме Пифагора для треугольника CHB:
   \[ BH^2 = BC^2 - CH^2 \]
   \[ BH^2 = 30^2 - (5\sqrt{35})^2 \]
   \[ BH^2 = 900 - (25 imes 35) \]
   \[ BH^2 = 900 - 875 \]
   \[ BH^2 = 25 \]
   \[ BH = \sqrt{25} = 5 \].

Ответ: 5