9 В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 80, sin A = 0,75. Найдите длину отрезка BH.

Решение:

1. Найдем высоту CH:

   В прямоугольном треугольнике ABC:

   \[ \sin A = \frac{CH}{AB} \]

2. Подставляем известные значения:

   \[ 0.75 = \frac{CH}{80} \]

3. Вычисляем CH:

   \[ CH = 0.75 \cdot 80 = \frac{3}{4} \cdot 80 = 3 \cdot 20 = 60 \]
4. Найдем AC:

   В прямоугольном треугольнике ABC:

   \[ \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (0.75)^2} = \sqrt{1 - 0.5625} = \sqrt{0.4375} \]

5. Или, зная, что \( \sin A = \frac{3}{4} \), можно найти \( \cos A \). Пусть \( \sin A = \frac{3}{4} \). Тогда \( \cos A = \frac{\sqrt{4^2 - 3^2}}{4} = \frac{\sqrt{16 - 9}}{4} = \frac{\sqrt{7}}{4} \).

   Теперь найдем AC:

   \[ \cos A = \frac{AC}{AB} \]
6. \[ \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{AC}{80} \]

7. Вычисляем AC:

   \[ AC = \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot 80 = 20\sqrt{7} \]
8. Найдем BH:

   В прямоугольном треугольнике CHB:

   \[ BH^2 = CB^2 - CH^2 \]

9. Найдем CB:

   \[ \sin A = \frac{CB}{AB} \]

10. Нет, это неверно. \( \sin A = \frac{CB}{AB} \) только если угол B = 90. Угол C = 90.

    Используем теорему Пифагора в треугольнике ABC:

    \[ AC^2 + CB^2 = AB^2 \]
11. \[ (20\sqrt{7})^2 + CB^2 = 80^2 \]
12. \[ 400 \cdot 7 + CB^2 = 6400 \]
13. \[ 2800 + CB^2 = 6400 \]
14. \[ CB^2 = 6400 - 2800 = 3600 \]
15. \[ CB = \sqrt{3600} = 60 \]
16. Теперь найдем BH в треугольнике CHB:

    В прямоугольном треугольнике CHB:

    \[ CB^2 = CH^2 + BH^2 \]
17. \[ 60^2 = 60^2 + BH^2 \]
18. \[ 3600 = 3600 + BH^2 \]
19. \[ BH^2 = 0 \]
20. \[ BH = 0 \]
21. Это неверно. Проверим расчеты.
22. Пересчитаем BH другим способом:
23. В прямоугольном треугольнике ABC:
24. \[ CB = AB \cdot \sin A = 80 \cdot 0.75 = 60 \]
25. \[ AC = AB \cdot \cos A = 80 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = 20\sqrt{7} \]
26. \[ CH = AC \cdot \sin A \text{ (неверно)} \]
27. \[ CH = CB \cdot \sin B \text{ (неверно)} \]
28. Из подобия треугольников:
29. \( \triangle ABC \sim \triangle CBH \sim \triangle ACH \)
30. \[ \frac{BH}{CB} = \frac{CB}{AB} \]
31. \[ BH = \frac{CB^2}{AB} \]
32. \[ BH = \frac{60^2}{80} = \frac{3600}{80} = \frac{360}{8} = 45 \]

Ответ: 45