9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота. AB = 90, $$\sin A = \frac{2}{3}$$. Найдите длину отрезка BH.

Решение:

1. Найдём длину катета BC: В прямоугольном треугольнике ABC, $$\sin A = \frac{BC}{AB}$$.
2. $$BC = AB \cdot \sin A = 90 \cdot \frac{2}{3} = 30 \cdot 2 = 60$$.
3. Найдём длину катета AC: Используем теорему Пифагора: $$AC^2 = AB^2 - BC^2$$.
4. $$AC^2 = 90^2 - 60^2 = 8100 - 3600 = 4500$$.
5. $$AC = \sqrt{4500} = \sqrt{900 \cdot 5} = 30\sqrt{5}$$.
6. Найдём синус угла B: Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, а угол C = 90°, то $$A + B = 90°$$. Следовательно, $$\sin B = \cos A$$.
7. Найдём косинус угла A: $$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$.
8. Значит, $$\sin B = \frac{\sqrt{5}}{3}$$.
9. Найдём длину отрезка BH: В прямоугольном треугольнике CBH, $$\sin B = \frac{CH}{BC}$$, а $$\cos B = \frac{BH}{BC}$$.
10. Нам нужно найти BH, поэтому используем $$\cos B$$. Так как $$\sin B = \frac{\sqrt{5}}{3}$$, то $$\cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{5}}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$$.
11. $$BH = BC \cdot \cos B = 60 \cdot \frac{2}{3} = 20 \cdot 2 = 40$$.

Альтернативный способ:

1. Найдём длину катета AC: $$\cos A = \frac{AC}{AB} \implies AC = AB \cdot \cos A$$.
2. $$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$.
3. $$AC = 90 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = 30\sqrt{5}$$.
4. Найдём высоту CH: Площадь треугольника $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$$.
5. $$CH = \frac{AC \cdot BC}{AB}$$.
6. Найдём BC: $$\sin A = \frac{BC}{AB} \implies BC = AB \cdot \sin A = 90 \cdot \frac{2}{3} = 60$$.
7. $$CH = \frac{30\sqrt{5} \cdot 60}{90} = \frac{1800\sqrt{5}}{90} = 20\sqrt{5}$$.
8. Найдём BH: В прямоугольном треугольнике CBH, по теореме Пифагора: $$BH^2 = BC^2 - CH^2$$.
9. $$BH^2 = 60^2 - (20\sqrt{5})^2 = 3600 - (400 \cdot 5) = 3600 - 2000 = 1600$$.
10. $$BH = \sqrt{1600} = 40$$.

Ответ: 40