9 В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH - высота, AB = 90, sinA = 2/3. Найдите длину отрезка АН.

В прямоугольном треугольнике ABC, $$CH$$ — высота, проведенная к гипотенузе $$AB$$. Нам дано $$AB = 90$$ и $$\sin A = 2/3$$.

Сначала найдем длину катета $$BC$$ через синус угла $$A$$:

\[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]

\[ BC = AB \cdot \sin A \]

\[ BC = 90 \cdot \frac{2}{3} = 30 \cdot 2 = 60 \]

Теперь найдем длину катета $$AC$$, используя теорему Пифагора:

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

\[ AC^2 + 60^2 = 90^2 \]

\[ AC^2 + 3600 = 8100 \]

\[ AC^2 = 8100 - 3600 \]

\[ AC^2 = 4500 \]

\[ AC = \sqrt{4500} = \sqrt{900 \cdot 5} = 30\sqrt{5} \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACH$$. В нем $$CH$$ — высота, $$AC$$ — гипотенуза.

В треугольнике $$ACH$$, угол $$ACH$$ равен углу $$B$$, потому что оба они дополняют угол $$A$$ до 90° (в $$\triangle ABC$$, $$\angle B = 90° - \angle A$$, а в $$\triangle ACH$$, $$\angle ACH = 90° - \angle A = \angle B$$).

Найдем $$\sin B$$:

\[ \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{30\sqrt{5}}{90} = \frac{\sqrt{5}}{3} \]

Теперь в прямоугольном треугольнике $$ACH$$, $$AH$$ является катетом, прилежащим к углу $$A$$. Найдем $$AH$$ через косинус угла $$A$$:

\[ \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (2/3)^2} = \sqrt{1 - 4/9} = \sqrt{5/9} = \frac{\sqrt{5}}{3} \]

Теперь найдем $$AH$$:

\[ \cos A = \frac{AH}{AC} \]

\[ AH = AC \cdot \cos A \]

\[ AH = 30\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = 10\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 10 \cdot 5 = 50 \]

Ответ: 50