9 В треугольнике АВС известно, что AC = BC, AB=14, tg A = 4√2 / 7. Найдите длину стороны АС.

Решение:

Треугольник ABC равнобедренный, так как AC = BC. Это значит, что углы при основании AB равны, то есть ∠A = ∠B.

Нам дано, что tg A = \(\frac{4√2}{7}\). В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Проведем высоту CD из вершины C к основанию AB. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Значит, CD перпендикулярна AB, и AD = DB = AB / 2 = 14 / 2 = 7.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. В нем ∠D = 90°. Мы знаем AD = 7. Нам нужно найти AC.

Известно, что tg A = \(\frac{CD}{AD}\). Мы знаем tg A и AD, поэтому можем найти CD:

Умножим обе части на 7:

Теперь мы можем найти длину гипотенузы AC в прямоугольном треугольнике ADC, используя теорему Пифагора ($$AC^2 = AD^2 + CD^2$$):

Извлекаем квадратный корень:

Ответ: 9