9. В треугольнике АВС известно, что АС = BC, AB = 18, tg A = √7 — 3 . Найдите длину стороны АС. Ответ:

Так как \(AC = BC\), треугольник \(ABC\) является равнобедренным. Углы при основании \(AB\) равны, то есть \(\angle A = \angle B\).

Нам дано, что \(\operatorname{tg} A = \frac{\sqrt{7}}{3}\).

В равнобедренном треугольнике \(ABC\), проведем высоту \(CH\) из вершины \(C\) к основанию \(AB\). Высота в равнобедренном треугольнике является также медианой и биссектрисой. Следовательно, \(H\) — середина \(AB\), и \(AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ACH\). В нем \(\angle A\) — один из острых углов, \(CH\) — противолежащий катет, а \(AH\) — прилежащий катет.

Мы знаем, что \(\operatorname{tg} A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CH}{AH}\).

Подставим известные значения:

\(\frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{CH}{9}\)

Теперь найдем длину высоты \(CH\):

\(CH = 9 \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} = 3\sqrt{7}\)

Теперь, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника \(ACH\), найдем длину гипотенузы \(AC\):

\(AC^2 = AH^2 + CH^2\)

\(AC^2 = 9^2 + (3\sqrt{7})^2\)

\(AC^2 = 81 + (9 \cdot 7)\)

\(AC^2 = 81 + 63\)

\(AC^2 = 144\)

\(AC = \sqrt{144}\)

\(AC = 12\)

Ответ: 12