9. В треугольнике АВС известно, что АС = BC, AB = 20, tg A = $$\frac{2\sqrt{6}}{5}$$. Найдите длину стороны АС.

Решение:

1. Определим тип треугольника:
   Так как $$AC = BC$$, треугольник АВС — равнобедренный. Углы при основании равны, то есть $$\angle A = \angle B$$.
2. Найдем $$\cos A$$:
   Используем основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$.
   Сначала найдем $$\sin A$$ из соотношения $$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$$.
   $$\tan A = \frac{2\sqrt{6}}{5}$$.
   $$\sin A = \tan A \cdot \cos A = \frac{2\sqrt{6}}{5} \cos A$$.
   Подставим в основное тригонометрическое тождество:
   \[ \left(\frac{2\sqrt{6}}{5} \cos A\right)^2 + \cos^2 A = 1 \]
   \[ \frac{4 \cdot 6}{25} \cos^2 A + \cos^2 A = 1 \]
   \[ \frac{24}{25} \cos^2 A + \frac{25}{25} \cos^2 A = 1 \]
   \[ \frac{49}{25} \cos^2 A = 1 \]
   \[ \cos^2 A = \frac{25}{49} \]
   Так как $$A$$ — угол треугольника, $$\cos A > 0$$, следовательно, $$\cos A = \sqrt{\frac{25}{49}} = \frac{5}{7}$$.
3. Найдем высоту CD:
   Проведем высоту CD из вершины C к основанию AB. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $$AD = DB = \frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10$$.
   В прямоугольном треугольнике ADC:
   \[ \tan A = \frac{CD}{AD} \]
   \[ CD = AD \cdot \tan A = 10 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = 2 \cdot 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6} \]
4. Найдем длину стороны АС:
   В прямоугольном треугольнике ADC:
   \[ \cos A = \frac{AD}{AC} \]
   \[ AC = \frac{AD}{\cos A} = \frac{10}{\frac{5}{7}} = 10 \cdot \frac{7}{5} = 2 \cdot 7 = 14 \]

Ответ: 14