9. В треугольнике АВС известно, что АС = ВС, AB = 20, tgA = 2√6 / 5. Найдите длину стороны АС.

В треугольнике ABC известно, что AC = BC, следовательно, треугольник ABC является равнобедренным.

Пусть $$CD$$ — высота, проведенная из вершины $$C$$ к основанию $$AB$$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $$AD = DB = AB/2 = 20/2 = 10$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. В нем:

• $$tgA = \frac{CD}{AD}$$

Нам дано, что $$tgA = \frac{2\sqrt{6}}{5}$$ и $$AD = 10$$. Подставим эти значения:

• \[ \frac{2\sqrt{6}}{5} = \frac{CD}{10} \]

Найдем $$CD$$:

• \[ CD = 10 \times \frac{2\sqrt{6}}{5} = 2 \times 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6} \]

Теперь, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ADC, найдем длину стороны AC:

• \[ AC^2 = AD^2 + CD^2 \]
• \[ AC^2 = 10^2 + (4\sqrt{6})^2 \]
• \[ AC^2 = 100 + 16 \times 6 \]
• \[ AC^2 = 100 + 96 \]
• \[ AC^2 = 196 \]

Извлечем квадратный корень:

• \[ AC = \sqrt{196} = 14 \]

Ответ: 14