9 В треугольнике АВС известно, что АС=ВС, АВ=10, tg A = 2√6/5. Найдите длину стороны АС.

Решение:

Дано равнобедренный треугольник ABC, где AC = BC. Основание AB = 10. Тангенс угла A равен \( \text{tg } A = \frac{2\sqrt{6}}{5} \).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть \( \angle A = \angle B \).

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \).

Мы знаем, что \( \text{tg } A = \frac{\sin A}{\cos A} \). Отсюда \( \sin A = \text{tg } A \cdot \cos A \).

Подставим это в основное тригонометрическое тождество:

\[ (\text{tg } A \cdot \cos A)^2 + \cos^2 A = 1 \]

\[ \text{tg}^2 A \cdot \cos^2 A + \cos^2 A = 1 \]

\[ \cos^2 A (\text{tg}^2 A + 1) = 1 \]

\[ \cos^2 A = \frac{1}{\text{tg}^2 A + 1} \]

Рассчитаем \( \text{tg}^2 A \):

\[ \text{tg}^2 A = \left( \frac{2\sqrt{6}}{5} \right)^2 = \frac{4 \cdot 6}{25} = \frac{24}{25} \]

Теперь найдем \( \cos^2 A \):

\[ \cos^2 A = \frac{1}{\frac{24}{25} + 1} = \frac{1}{\frac{24+25}{25}} = \frac{1}{\frac{49}{25}} = \frac{25}{49} \]

Так как A - угол треугольника, то \( \cos A > 0 \). Следовательно, \( \cos A = \sqrt{\frac{25}{49}} = \frac{5}{7} \).

Теперь найдем \( \sin A \):

\[ \sin A = \text{tg } A \cdot \cos A = \frac{2\sqrt{6}}{5} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2\sqrt{6}}{7} \]

Теперь применим теорему синусов к треугольнику ABC:

\[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} = 2R \]

Так как \( AC = BC \) и \( \angle A = \angle B \), то \( \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \) нам не поможет найти AC напрямую, но мы знаем, что \( \angle C = 180^° - (\angle A + \angle B) = 180^° - 2A \).

Воспользуемся теоремой косинусов для стороны AB:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C \]

Так как \( AC = BC \), то

\[ AB^2 = AC^2 + AC^2 - 2 \cdot AC^2 \cdot \cos C \]

\[ AB^2 = 2AC^2 (1 - \cos C) \]

Нам нужно найти \( \cos C \). \( \cos C = \cos(180^° - 2A) = -\cos(2A) \).

Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A \).

\[ \cos(2A) = \left(\frac{5}{7}\right)^2 - \left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2 = \frac{25}{49} - \frac{4 \cdot 6}{49} = \frac{25 - 24}{49} = \frac{1}{49} \]

Тогда \( \cos C = -\frac{1}{49} \).

Подставим значения в уравнение для AB:

\[ 10^2 = 2AC^2 \left(1 - \left(-\frac{1}{49}\right)\right) \]

\[ 100 = 2AC^2 \left(1 + \frac{1}{49}\right) \]

\[ 100 = 2AC^2 \left(\frac{49+1}{49}\right) \]

\[ 100 = 2AC^2 \left(\frac{50}{49}\right) \]

\[ 100 = \frac{100}{49} AC^2 \]

\[ AC^2 = \frac{100 \cdot 49}{100} = 49 \]

\[ AC = \sqrt{49} = 7 \]

Альтернативный способ:

Опустим высоту CD из вершины C на основание AB. Так как треугольник равнобедренный, высота CD является также медианой и биссектрисой. Следовательно, D — середина AB, и \( AD = DB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} × 10 = 5 \).

В прямоугольном треугольнике ADC:

\[ \text{tg } A = \frac{CD}{AD} \]

\[ CD = AD \cdot \text{tg } A = 5 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = 2\sqrt{6} \]

Теперь найдем AC, используя теорему Пифагора в треугольнике ADC:

\[ AC^2 = AD^2 + CD^2 \]

\[ AC^2 = 5^2 + (2\sqrt{6})^2 \]

\[ AC^2 = 25 + (4 \cdot 6) \]

\[ AC^2 = 25 + 24 = 49 \]

\[ AC = \sqrt{49} = 7 \]

Ответ: 7