9 В треугольнике АВС угол C равен 90°, AB = 32, sin A = √7/4. Найдите длину стороны АС.

Решение:

• В прямоугольном треугольнике синус угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB): \( \sin A = \frac{BC}{AB} \).
• Известно, что \( \sin A = \frac{\sqrt{7}}{4} \) и \( AB = 32 \).
• Найдем длину катета BC: \( \frac{BC}{32} = \frac{\sqrt{7}}{4} \) => \( BC = 32 \times \frac{\sqrt{7}}{4} = 8\sqrt{7} \).
• По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).
• Подставим известные значения: \( AC^2 + (8\sqrt{7})^2 = 32^2 \).
• \( AC^2 + 64 \times 7 = 1024 \).
• \( AC^2 + 448 = 1024 \).
• \( AC^2 = 1024 - 448 \).
• \( AC^2 = 576 \).
• \( AC = \sqrt{576} = 24 \).

Ответ: 24