9. В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС = 12, ВС = 9. Найдите cos А.

Задание 9. Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Дано:

• Прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \)
• \( \angle C = 90^{\circ} \)
• Катет \( AC = 12 \)
• Катет \( BC = 9 \)

Найти: \( \cos A \)

Решение:

В прямоугольном треугольнике косинус угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе.

\[ \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \]

В нашем случае, для угла \( A \):

• Прилежащий катет — это \( AC \)
• Противолежащий катет — это \( BC \)
• Гипотенуза — это \( AB \)

Сначала найдём длину гипотенузы \( AB \) по теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]\[ AB^2 = 12^2 + 9^2 \]\[ AB^2 = 144 + 81 \]\[ AB^2 = 225 \]

Извлечём квадратный корень:

\[ AB = \sqrt{225} = 15 \]

Теперь можем найти \( \cos A \):

\[ \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{15} \]

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

\[ \cos A = \frac{12 \div 3}{15 \div 3} = \frac{4}{5} \]

Переведём дробь в десятичную форму:

\[ \frac{4}{5} = 0.8 \]

Ответ: 0.8