9 В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС = 4, $$\cos A = \frac{4\sqrt{65}}{65}$$. Найдите длину стороны ВС.

Краткое пояснение:

В прямоугольном треугольнике косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Зная косинус угла А и длину прилежащего катета АС, мы можем найти длину гипотенузы АВ, а затем, используя теорему Пифагора или тангенс, найти длину катета ВС.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Используем определение косинуса в прямоугольном треугольнике: $$\cos A = \frac{AC}{AB}$$.
2. Шаг 2: Подставляем известные значения: $$\frac{4\sqrt{65}}{65} = \frac{4}{AB}$$.
3. Шаг 3: Решаем уравнение для нахождения длины гипотенузы АВ: $$AB = \frac{4 \cdot 65}{4\sqrt{65}} = \frac{65}{\sqrt{65}} = \sqrt{65}$$.
4. Шаг 4: Теперь можем найти длину стороны ВС, используя теорему Пифагора: $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$.
5. Шаг 5: Подставляем известные значения: $$4^2 + BC^2 = (\sqrt{65})^2$$.
6. Шаг 6: Вычисляем: $$16 + BC^2 = 65$$.
7. Шаг 7: Решаем для $$BC^2$$: $$BC^2 = 65 - 16 = 49$$.
8. Шаг 8: Находим длину ВС: $$BC = \sqrt{49} = 7$$.

Ответ: 7